距離空間の点列と収束の証明方法について解説

距離空間Xにおける点列{x(n)}が、任意の部分列が同じ極限xに収束する場合、点列{x(n)}自体もxに収束することを証明する方法について解説します。この記事では、その証明のステップをわかりやすく説明します。

1. 問題の理解

問題では、距離空間Xにおける点列{x(n)}に対して、任意の部分列が同じ極限xに収束するならば、元の点列{x(n)}もxに収束することを証明することが求められています。ここでは、収束の定義と部分列の性質を理解することが重要です。

2. 収束の定義

点列{x(n)}がxに収束するとは、任意のε>0に対して、あるNが存在して、n≥Nならばd(x(n), x) < εが成り立つことです。ここで、d(x(n), x)はx(n)とxの間の距離を示します。

3. 部分列の収束

部分列とは、元の点列からいくつかの項を選んでできた新しい点列です。問題で言われているように、任意の部分列がxに収束すると仮定します。この仮定を用いて、元の点列{x(n)}もxに収束することを証明します。

4. 証明のステップ

証明の流れは以下の通りです。

1. 任意のε>0に対して、部分列の収束に基づいて、部分列{x(nk)}がxに収束するため、十分大きなNが存在して、n≥Nならばd(x(nk), x) < ε/2となる。
2. 元の点列{x(n)}が部分列{x(nk)}を含んでいることから、x(n)も同様にxに収束することが分かります。
3. したがって、元の点列{x(n)}もxに収束する。

5. 結論

この証明では、部分列が収束する性質を利用して、元の点列も収束することを示しました。重要なのは、部分列が収束する限り、元の点列も収束するという点です。このような証明の方法は、距離空間における収束の理解を深めるのに役立ちます。