今回は、組み合わせの問題について、異なるシナリオにおける玉と箱の入れ方のパターンを詳しく解説します。特に、「箱も玉も区別する」「玉は区別しない」「箱も玉も区別しない」など、異なる条件での計算方法を見ていきましょう。
問題の設定と確認
n個の箱にr個の玉を入れるという問題です。具体的には以下の3つのシナリオが与えられています。
- （ⅰ）箱も玉も区別する場合
- （ⅱ）玉は区別しないで箱は区別する場合
- （ⅲ）玉は区別しないで、箱は区別するが1つの箱には1つの玉しか入れない場合
それぞれのケースで求められる通り数を求める方法について詳しく見ていきます。
（ⅰ）箱も玉も区別する場合
この場合、1つの玉はn通りの箱に入れることができます。つまり、1つの玉をn通りの箱に入れられるので、r個の玉については、n^r通りの入れ方が可能です。
（ⅱ）玉は区別しないで箱だけ区別する場合
次に、玉は区別しない場合ですが、箱だけが区別される場合を考えます。これには、（ⅰ）の計算における「玉の並べ替え」による重複を除く必要があります。そのため、玉の並べ替え分の重複を取り除いた形で、通り数は「n^r ÷ r!」で求められます。
（ⅲ）玉は区別しないで、箱は区別するが1つの箱には1つの玉しか入れない場合
このケースでは、n個の箱からr個を選び、玉を入れる組み合わせを考える必要があります。このため、通り数は「nCr」として求めることができます。
まとめ
この問題では、組み合わせの計算方法を異なる条件に基づいて考えました。箱も玉も区別する場合、玉の区別がない場合、さらに箱に入れられる玉の数に制約がある場合、それぞれ異なる計算式を使用します。これらの問題に取り組むことで、組み合わせの基本的な考え方を理解することができ、より複雑な問題にも対応できるようになります。
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