積分を使って直角三角形の面積を求める方法

今回は、「1:2:√3の直角三角形」の面積を、三角形の面積公式ではなく、積分を使って求める方法について解説します。

問題の整理

与えられた直角三角形の底辺は1、高さは√3です。通常であれば三角形の面積は、底辺×高さ÷2の公式を使って計算しますが、今回は積分を使って解きます。

積分を使って面積を求める理由は、曲線下の面積を求める際に有効な方法であるからです。直角三角形の場合、直線の方程式を積分することで、面積を求めることができます。

まず、直角三角形の直線の方程式を求めます。直角三角形の頂点は(0, 0)、(1, 0)、(0, √3)です。底辺がx軸に沿っているため、直線の方程式は、点(1, 0)と点(0, √3)を通る直線です。

直線の傾きは、(√3 – 0) ÷ (0 – 1) = -√3 です。したがって、直線の方程式は、y = -√3x + √3 となります。

次に、この直線で囲まれた面積を積分を使って求めます。面積を求めるためには、yの値（高さ）をxに関して積分します。

面積Aは次のように求められます。

A = ∫₀¹ (-√3x + √3) dx

この積分を計算します。

A = [(-√3/2) x² + √3x]₀¹ = (-√3/2) + √3 = (√3)/2

したがって、この三角形の面積は(√3)/2となり、最終的な答えは、公式で求めた面積と一致します。

この問題では、積分を使って直角三角形の面積を求める方法を解説しました。積分を使うことで、図形の下に囲まれた面積を簡単に求めることができることがわかります。公式を使う方法もありますが、積分の方法を学ぶことによって、より一般的な解法を理解できるようになります。