積分計算：∫₀᪲x^-p sin x dx の計算とその結果

この問題は、積分 ∫₀᪲x^-p sin x dx の計算についてです。計算結果が (π/2) * csc(pπ/2) / Γ(p) と示されていることから、この積分を解く方法に関心がある方向けの解説記事です。

1. 問題の整理と式の確認

積分の式は、0から無限大の範囲で、xのp乗の逆数とsin(x)を掛け合わせたものです。式で表すと、次のようになります。

∫₀᪲ x^-p sin x dx

ここで、pは0 < p < 1の範囲にあり、この積分を計算する方法を考えます。

まず、Γ関数とは、自然数の階乗を拡張した関数であり、積分計算や確率論などで非常に重要な役割を持っています。csc関数は、sin関数の逆関数である余割関数です。積分計算においてこれらの関数がどのように使われるかを理解することが重要です。

この積分を解くためには、まず次の定積分を解く手法を考えます。特に、変数変換やリーマンの積分法を使用して式を簡略化する方法が有効です。

具体的には、以下の変数変換を行います。

u = x^(1 - p)

これにより、積分の範囲や積分関数が簡略化されます。さらに、関数の性質を考慮することで、最終的に必要な関数であるΓ関数とcsc関数が現れる形になります。

最終的に、次のような形になります。

∫₀᪲ x^-p sin x dx = (π / 2) * csc(pπ / 2) / Γ(p)

この結果は、積分計算の定番の方法であり、特定の範囲における関数の解を求める際に非常に役立ちます。

この問題では、積分の計算を行うためにΓ関数とcsc関数の知識を使い、変数変換をうまく利用しました。最終的な答えは、(π / 2) * csc(pπ / 2) / Γ(p) であり、これは積分計算における重要な結果です。