二次関数の最大最小値の求め方：上に凸、下に凸の違い

二次関数の最大値や最小値を求める際、関数が上に凸か下に凸かによって解法が異なります。特に、定義域の中央より左または右を使う理由について混乱することがあるかもしれません。この記事では、上に凸・下に凸の二次関数における最大最小値の求め方の違いと、その理論的背景をわかりやすく解説します。

二次関数の形と最大最小値の関係

二次関数は、一般的にy = ax^2 + bx + cという形で表されます。このとき、aの値によって関数が「上に凸」または「下に凸」に決まります。a > 0の場合、関数は上に凸（最小値が存在）、a < 0の場合、関数は下に凸（最大値が存在）になります。

最小値や最大値を求める際に、関数のグラフの頂点が重要になります。頂点のx座標は、x = -b/(2a)で求めることができ、この点が関数の最大最小値を決定します。

上に凸の関数の最小値の求め方

上に凸の関数では、最小値が関数の頂点で発生します。したがって、定義域の中央を基準にして、関数の右側または左側で最小値を見つけるというアプローチが取られます。

上に凸の関数の場合、定義域の中央より左側または右側に最小値が現れるという表現は、実際には関数の頂点がその中央に位置していることを意味しています。関数が上に凸であれば、頂点で最小値が取られるため、関数の左右でその傾きに沿った形で最小値が確認できます。

下に凸の関数の最大値の求め方

下に凸の関数では、最大値が関数の頂点で発生します。上に凸の場合と同様に、頂点が定義域の中央に位置し、そこが最大値を取る点になります。

下に凸の関数の場合、「定義域の中央より右」「定義域の中央より左」という表現は、最大値が頂点に位置することを示しています。最大値を求めるためには、関数の左右でその値を調べることになりますが、どちらの側にも最大値は同じように現れます。

プラス・マイナスの変化が左右に与える影響

プラス・マイナスが変わると、関数の形や頂点の位置が変わります。例えば、aの符号が変わると、関数が上に凸から下に凸に変わり、最小値から最大値に変わります。このとき、頂点がグラフの中央に位置するため、左右に与える影響は基本的に対称的になります。

このように、関数の形状が変わると、最大値や最小値の求め方にも変化が生じますが、最終的にはグラフの頂点を基準にした考え方が基本となります。

まとめ

二次関数の最大最小値を求める際、上に凸・下に凸の違いによって、定義域の中央より左右の位置が異なるという考え方があります。しかし、最も重要なのは、関数の頂点が最大値または最小値を決定する点であるということです。プラス・マイナスの変化によって関数の形が変わりますが、頂点を基準にすることでその位置を正しく求めることができます。