因数分解の解法: 複雑な式の展開と整理方法

中学2年生や3年生で学ぶ因数分解は、最初は難しく感じるかもしれません。特に、複雑な式の展開や整理方法がわからないと、解答にたどり着くのが難しいと感じることもあります。この問題では、式を展開し、因数分解を進めていく過程を解説します。

問題の整理

問題の式は次のようになっています。

(3x³y² – x²y³ + 6xy⁴) ÷ xy² – (x – 2y)²

これを解くために、まずは式を部分ごとに分解して、順を追って整理していきましょう。

最初の部分は「(3x³y² – x²y³ + 6xy⁴) ÷ xy²」です。ここで、「÷ xy²」という部分は、各項をxy²で割ることになります。

このように式を分けて計算すると、次のようになります。

(3x³y² ÷ xy²) – (x²y³ ÷ xy²) + (6xy⁴ ÷ xy²)

これを計算すると、それぞれ以下のようになります。

3x² – xy + 6y²

次に「(x – 2y)²」を展開します。展開の仕方は、(a – b)² = a² – 2ab + b² という公式を使います。

したがって、(x – 2y)²は次のように展開されます。

x² – 4xy + 4y²

ここまでの計算をまとめると、元の式は次のように整理できます。

(3x² – xy + 6y²) – (x² – 4xy + 4y²)

これを整理すると、次のような形になります。

3x² – xy + 6y² – x² + 4xy – 4y²

最終的に、同じ項をまとめると。

2x² + 3xy + 2y²

このように、複雑な式を展開する際には、式の各項を丁寧に計算し、整理していくことが重要です。まずは分けて計算し、その後まとめることで、最終的に因数分解したり簡単な形に変えることができます。