数学的帰納法を用いた問題の解法に関して、特に「3^(n+1) + 4^(2n-1)が13の倍数である」という証明方法について疑問を持つ人が多いです。この問題は、一見複雑に見えますが、正しいステップを踏んでいけば解くことができます。
1. 数学的帰納法とは
数学的帰納法とは、自然数に関する命題を証明する際に使われる方法で、一般的に次の2つのステップから成り立っています。
- ベースケースの証明：最小の値（通常はn=1）について命題が成り立つことを示す。
- 帰納法のステップ：任意のn=kに対して命題が成り立つと仮定し、n=k+1の場合に命題が成り立つことを証明する。
この2つのステップを経ることで、任意のnについて命題が成り立つことが証明されます。
2. 問題の内容と初期の解法
問題文では「3^(n+1) + 4^(2n-1)が13の倍数である」という命題を証明するために数学的帰納法を使います。
最初に、「n=k+1」のときの式を考えます。式は「3^(k+2) + 4^(2k+1)」という形になります。この時、質問者が計算している通り、式を分解することでさらに計算が進められます。
3. 数学的帰納法のステップでの誤解
質問者が「3・3^(k+1) + 4^2・4^(2k-1)」という形に進んでいる部分がポイントです。この部分では、指数の性質を使って式を分解しています。具体的には、次のように計算を行います。
3^(k+2) = 3 * 3^(k+1) と 4^(2k+1) = 4^2 * 4^(2k-1) とすることで、式を整理します。この分解方法が重要で、指数の加算や乗算をうまく利用することで、次の計算に進むことができます。
4. 正しい解法への進み方
次に、数学的帰納法の仮定を使って帰納法のステップを進めます。「n=k+1」の場合における式を、帰納法の仮定を使って整理することで、13の倍数であることを証明します。具体的な計算は少し複雑ですが、指数法則や因数分解を使って進めます。
この証明では、各項の計算をしっかりと見直すことで、最後には「5/18」という結果を得ることができます。
5. まとめとアドバイス
この問題を解く上で大切なのは、指数の性質を正確に使いこなすことです。式を分解し、帰納法の仮定を適用することで、最終的に正しい答えに辿り着きます。数学的帰納法は最初は難しく感じるかもしれませんが、段階を踏んで解いていくことで理解が深まります。
もし他の類似の問題にも挑戦する場合は、帰納法のステップをしっかりと確認し、仮定と結論の繋がりを意識して解くことが重要です。
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