放物線と円の共有点：1点で接する場合に重解ではない理由

高校数学でよく出る問題に、放物線と円の共有点を求める問題があります。この問題で「1点で接する場合、なぜ重解ではないのか？」という疑問が湧くことがあります。この記事では、その理由を分かりやすく解説し、接する場合と重解の違いについて詳しく説明します。

放物線と円の共有点とは？

放物線と円の共有点とは、放物線と円が交わる点のことです。これを求めるために、放物線と円の方程式を連立方程式として解く方法が一般的です。解の数や形は、放物線と円の位置関係によって異なります。

放物線と円が1点で接するというのは、両者が接する点がただ1つである場合を指します。接するとは、交点が1つだけで、その点で両者の接線が一致する状態です。この場合、放物線と円は互いに交わるだけでなく、同じ方向に「接している」ため、接点では重解にはならず、ただ1つの解しか存在しません。

重解とは、同じ解が2回現れる場合のことです。例えば、方程式を解くときに同じ解が2回出てきた場合、重解があると言います。しかし、放物線と円が1点で接する場合は、交点が1つだけであり、その解は1回だけ出るため、重解にはなりません。

放物線と円が1点で接する場合、解はただ1つです。この解は、放物線と円の交点を示しますが、接する点では交点の「重なり」がなく、重解と呼べるものではありません。重解が生じるのは、2つの解が完全に重なっている場合に限りますが、接する場合は交点がただ1つしか存在しないため、重解にはならないのです。

例えば、放物線y = x^2と円x^2 + y^2 = 4の交点を求める場合を考えます。これらの式を連立させると、x = 2という解が1つだけ得られます。このように、交点が1点だけの場合、接しているとは言っても重解にはなりません。

放物線と円が1点で接する場合、その交点はただ1つしかなく、重解が生じない理由は交点の重なりがないからです。重解は、解が2回現れる場合に使われる言葉であり、接する場合のように交点が1つだけの場合には適用されません。問題を解く際には、この違いをしっかり理解しておくことが重要です。