高2の数Bの問題で、階差数列を利用して数列の一般項を求める方法について解説します。この問題では、与えられた数列に基づいて階差数列を導出し、そこから一般項を求める手順を学びます。
階差数列とは？
階差数列とは、与えられた数列の隣り合う項の差を求めてできる新しい数列です。たとえば、数列 {a_n} の階差数列は、次のように定義されます。
階差数列 {b_n} は、b_n = a_{n+1} – a_n という関係式で求められます。この階差数列を繰り返し求めていくことで、数列の一般項を見つける手法を「階差法」と呼びます。
問題の数列の階差数列を求める
与えられた数列は、3, 6, 11, 18, 27, …です。この数列の一般項を求めるために、まず階差数列を求めていきます。
1. 最初の階差数列 {b_n} を求めます。与えられた数列の隣り合う項の差を求めると。
- b_1 = 6 – 3 = 3
- b_2 = 11 – 6 = 5
- b_3 = 18 – 11 = 7
- b_4 = 27 – 18 = 9
このように、階差数列 {b_n} は 3, 5, 7, 9, … となります。
階差数列をさらに求める
次に、階差数列 {b_n} の階差を求めます。これを二階差数列と言います。
2. 二階差数列 {c_n} は、b_{n+1} – b_n で求められます。
- c_1 = 5 – 3 = 2
- c_2 = 7 – 5 = 2
- c_3 = 9 – 7 = 2
このように、二階差数列 {c_n} はすべて 2 となります。
一般項の求め方
二階差数列がすべて同じ数値であることがわかりました。ここから一般項を求めることができます。二階差数列が一定の値である場合、その数列は2次関数の形をしていることがわかります。
与えられた数列の一般項は、次のような形を取ります。
a_n = An^2 + Bn + C
ここで、A, B, C は定数です。二階差数列が一定の値であることから、Aは2階差数列の値の半分であることがわかります。したがって、A = 1 となります。
次に、A = 1 の場合に必要な B と C を求めます。実際に与えられた数列の値を代入して、B と C を解くことができます。
まとめ：階差数列を利用した一般項の求め方
数列の一般項を求めるためには、まずその数列の階差数列を求め、その後に階差が一定であることを確認して2次関数の形に落とし込むことが必要です。与えられた問題の数列では、階差数列を求めることで、一般項を導き出すことができました。この方法を応用することで、他の数列の一般項も同様に求めることができます。
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