関数の接線方程式の求め方 – f(x)=2x³+x²+1の接点の計算方法

関数f(x)=2x³+x²+1の接線方程式を求める問題では、まず接点の座標を求め、その後、接線の傾きを計算して接線の方程式を導出します。この記事では、点(1, f(1))における接線の方程式を求める方法について、ステップごとに解説します。

接線の方程式の一般形

接線の方程式は、一般的に次の形式で表されます。

y – f(a) = f'(a)(x – a)

ここで、aは接点のx座標、f(a)はその点での関数の値、f'(a)はその点での導関数（接線の傾き）です。この式を用いて接線の方程式を求めます。

まず、点(1, f(1))における接線を求めるために、f(1)の値を計算します。関数f(x) = 2x³ + x² + 1にx=1を代入します。

f(1) = 2(1)³ + (1)² + 1 = 2 + 1 + 1 = 4

したがって、接点は(1, 4)となります。

次に、接線の傾きである導関数f'(x)を求めます。関数f(x) = 2x³ + x² + 1の導関数を計算すると、次のようになります。

f'(x) = 6x² + 2x

これをx=1に代入して、接点での傾きを求めます。

f'(1) = 6(1)² + 2(1) = 6 + 2 = 8

したがって、接線の傾きは8です。

接点(1, 4)と傾き8を用いて、接線の方程式を求めます。接線の方程式は次のようになります。

y – f(1) = f'(1)(x – 1)

y – 4 = 8(x – 1)

この式が接線の方程式です。これを展開すると、

y – 4 = 8x – 8

y = 8x – 4

したがって、接線の方程式はy = 8x – 4です。

関数f(x)=2x³+x²+1の接点(1, f(1))における接線の方程式を求める手順は、まず接点の座標を求め、次に導関数を使って接線の傾きを求め、その後接線の方程式を導出するという流れです。この方法を使えば、他の関数における接線方程式も同様に求めることができます。