n^2 - 3が3の倍数でないことを示す方法：整数の余りに着目する

数学の問題で「n^2 – 3は3の倍数でないことを示せ」というものがあります。この問題では、nの値に対して十分な条件を設定する必要があります。特に、nが3で割った余りに着目する理由について詳しく解説します。

問題の設定と解法のアプローチ

この問題は、「n^2 – 3が3の倍数でないことを示す」というものです。まずは、nが3の倍数かどうかに注目して考えることが基本的なアプローチです。整数nに対して、3の倍数かそうでないかを区別するために、n = 3k, n = 3k+1, n = 3k+2と3通りの場合を考えます。

ここで、n = 3k、n = 3k+1、n = 3k+2とおく理由は、整数nを3で割った余りに着目するためです。この方法を「合同式」と呼びます。整数は3で割ると、余りが0、1、2の3通りに分けられます。このため、nがどの余りを持つかによって、計算がしやすくなるからです。

n = 2k, n = 2k+1など、2で割った余りに注目する方法では、この問題を解くことは難しいです。なぜなら、2の倍数に関しては3の倍数との関係が直接的に現れにくいため、nが3の倍数であるかどうかに関して、より簡単で明確な証明をするためには、3の余りに着目することが有効だからです。

実際にn = 3k, n = 3k+1, n = 3k+2として、それぞれの場合に対する計算を行います。それぞれの場合でn^2 – 3の値を求め、これが3の倍数でないことを示すことができます。nが3の倍数、1余り、2余りの各場合で、n^2 – 3がいかに3の倍数でないかが分かります。

このように、整数nが3の倍数かどうかを余りに着目して考えることで、問題が解けることが分かります。合同式を使って、nの余りに注目しながら証明を進める方法を理解することが重要です。このアプローチをマスターすることで、似たような問題を解く際にも役立てることができます。