確率変数列Ynがaに確率収束する証明方法【数学的解説】

この問題では、確率変数数列{Xn}が互いに独立であり、U(0,a)という一様分布に従うとき、確率変数列{Yn}がn→∞のときにaに確率収束することを証明します。具体的な証明方法とともに、理解しやすい形で解説します。

1. 問題の整理

まず、与えられた問題に基づいて整理します。確率変数列{Xn}は独立で、各Xnは0とaの間で一様分布U(0,a)に従います。確率変数Ynは次のように定義されます。

Yn = max{X1, X2, …, Xn}

つまり、YnはX1からXnまでの最大値を表します。私たちはこのYnがn→∞のときにaに確率収束することを証明する必要があります。

確率収束の定義を確認しましょう。確率変数Ynがaに確率収束するとは、次の条件を満たすことを意味します。

任意のε > 0に対して、P(|Yn – a| ≥ ε) → 0 as n → ∞

つまり、nが大きくなるにつれてYnがaからεだけ離れる確率が0に収束することが求められます。

次に、Ynがaに収束する確率を求めます。Ynは最大値ですので、Ynがaに近づくには、全てのXnがaに近づく必要があります。

まず、Xnがaより小さい確率を考えます。XnはU(0,a)に従うため、P(Xn < a - ε) = 1 - ε/a です。

Ynがaからεだけ離れる確率は、すべてのXnがa – εより大きい確率になります。これを計算すると、P(Yn < a - ε) = (1 - ε/a)^n です。

したがって、P(|Yn – a| ≥ ε) = P(Yn < a - ε) = (1 - ε/a)^n です。

次に、P(|Yn – a| ≥ ε)がn→∞で0に収束することを示します。

(1 – ε/a)^nはnが大きくなるにつれて0に収束します。これは、ε > 0が任意であるため、確率P(|Yn – a| ≥ ε)も0に収束することが確認できます。

したがって、Ynはaに確率収束することが証明されました。

今回の問題では、確率変数列Ynがaに確率収束することを証明しました。具体的には、YnがXnの最大値であり、全てのXnがa – εより大きくなる確率を求め、最終的にこの確率が0に収束することを示しました。この結果、Ynがaに確率収束することが確認できました。