積分計算で現れる「t」の役割とその理解法 – 3つの式変形の理由

積分計算において、式を変形する過程で新たに現れる「t」の役割やその理由について、しばしば混乱を招くことがあります。特に、積分の計算で2x［t］が出現する理由を理解することは、数学を深く理解するために重要です。この記事では、その過程を詳しく解説し、tがなぜ現れるのかを明確にします。

積分式の変形過程

最初に与えられた式は、次のようになります。

f(x) = ∫(1から3まで){2x – f(t)}dt

この式を分解していくと、2xとf(t)をそれぞれ積分に分けることができます。最初の変形が

f(x) = 2x ∫(1から3まで){dt} – ∫(1から3まで){f(t)dt}

となります。この時点で、積分部分はそれぞれ簡単に処理することができます。

式を次のように分けることで、2xの項とf(t)の項が別々に積分されることがわかります。

まず、2xについて考えます。この場合、2xは定数なので、積分においてはそのまま2xを外に出すことができます。次に、積分の範囲1から3までの部分を処理します。積分の結果、2x(t)が現れますが、このtは積分変数として現れるものです。

tがなぜ出てくるかと言うと、積分を行うことで、積分変数が式に組み込まれ、その結果として具体的な数値が出てきます。式の中で積分する対象がf(t)であり、tはその積分変数として必要となるためです。

積分を行う過程を順を追って見ていきます。まず、2xの項については定積分の基本的な計算を行います。

∫(1から3まで)dt = t | (1から3まで)

これを評価すると、tが1から3の範囲で値を取るため、最終的に得られるのは3 – 1 = 2です。したがって、2x ∫(1から3まで) dt = 2x * 2 = 4xとなります。

積分において、変数tが現れる理由は、その積分における積分変数として必要であり、式に組み込まれるからです。積分の計算過程では、積分対象の関数が何であるかに基づいて計算を行うため、tが自然に出てきます。また、積分後に得られる数値結果を元に式を評価することで、最終的な答えを導きます。