1/(t^2-1)^2の部分分数分解の方法と理由

部分分数分解は、分数式を簡単な分数に分解する技術です。今回は、1/(t^2-1)^2という式を部分分数分解する方法について解説します。

1/(t^2-1)^2の分母の因数分解

まず、分母t^2 – 1を因数分解します。これは差の二乗の公式を使って、(t – 1)(t + 1)と分解できます。次に、その式の2乗がついているので、(t – 1)^2(t + 1)^2という形に変換できます。

部分分数分解の基本のアプローチ

分母が(t – 1)^2(t + 1)^2のように複数の因数から成り立っている場合、部分分数分解では各因数に対して適切な分数を割り当てます。具体的には、次のように分解します。

1/(t^2 – 1)^2 = A/(t – 1) + B/(t – 1)^2 + C/(t + 1) + D/(t + 1)^2

なぜこの4つの項になるのか？

この分数分解の方法で、各項がどのように決まるかを理解することが大切です。分母に(t – 1)^2と(t + 1)^2が含まれているので、それぞれ1次の項（t – 1, t + 1）と2次の項（(t – 1)^2, (t + 1)^2）が必要になります。これにより、分母のすべての因数に対応する4つの項が必要となります。

実際に計算してみよう

実際にこの部分分数分解を行うには、両辺の分母を揃えて、分子の項を比較します。そうすることで、A、B、C、Dの値を求めることができます。計算の過程を確認しながら進めると、分解の理論がよりよく理解できるでしょう。

まとめ

1/(t^2 – 1)^2の部分分数分解では、分母の因数(t – 1)と(t + 1)に対応する項を割り当て、1次項と2次項を使って分解します。この方法により、複雑な分数式を簡単な分数に分解することができます。