数列の問題で、一般項を求める際に出てくる式の中で「a-1」などがどこから来るのか、疑問に思うことがあります。この記事では、具体的な数Bの問題を通じて、一般項の求め方とその式の導出方法について解説します。
問題の設定
問題は次のように与えられています：
「a1＝0、an+1＝an +5」
ここで、数列{an}の一般項を求める問題です。このような問題では、再帰的に与えられた式から数列の一般項を導き出す必要があります。
まず、この問題の核心を理解するために、数列の初項と再帰的な関係式を確認しましょう。
再帰的な関係式から一般項を求める
再帰式「an+1＝an +5」は、前の項に5を足すことで次の項を得るという関係を示しています。つまり、数列は毎回5ずつ増加していることがわかります。
このような数列の場合、初項a1が0であるため、次のように項を順番に求めていけます。
- a1 = 0
- a2 = a1 + 5 = 0 + 5 = 5
- a3 = a2 + 5 = 5 + 5 = 10
- a4 = a3 + 5 = 10 + 5 = 15
このように、数列の項は5ずつ増加しています。ここから一般項を求めるために、この増加のパターンを式に表現します。
一般項の導出方法
一般項anは、初項からの増加を表す式として次のように導出できます。
an = a1 + (n – 1) × 5
ここで、nは項の番号です。初項a1が0であり、各項は前の項から5ずつ増加するため、(n – 1)回の増加を5で掛け算します。この式により、任意のnに対してanを求めることができます。
例えば、n = 1の場合、a1 = 0 + (1 – 1) × 5 = 0となり、n = 2の場合、a2 = 0 + (2 – 1) × 5 = 5となります。このようにして、各項を計算することができます。
「a – 1」の由来について
問題で示された式「an＝0＋(a – 1)×5＝5n – 5」の「a – 1」は、数列の項の番号nを基にした表現です。この式の目的は、項番号nが1から始まる場合の式の簡略化です。実際には、n番目の項を求める際に、「a – 1」という表現が使われることは、(n – 1)回の増加を示すための便宜的な方法です。
この式は、数列がn番目の項を計算するための方法であり、n番目の項を求める際に、増加回数を明確に示すための書き方として理解するとよいでしょう。
まとめ
数列の一般項を求める際に、再帰的な関係式から一般項を導く方法を解説しました。「a – 1」の表現は、項番号nに対する増加回数を示すために使われるものであり、再帰的な式を簡潔に表現するための方法です。式の導出方法を理解し、数列の問題に取り組む際に、再帰的関係をどのように一般項に変換するかを意識してみましょう。
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