実数体の部分集合が上限を持つならば上に有界である理由

「実数体の部分集合Aが上限を持つならば、Aは上に有界である」という命題について考えてみましょう。この命題が正しい理由を、数学的な視点からわかりやすく説明します。

上限と上有界の意味について

まず、上限と上有界の定義を確認しておきましょう。実数体において、部分集合Aが「上限を持つ」というのは、Aの全ての元より大きいか等しい実数が存在することを意味します。そして、「上に有界である」というのは、Aの元がある最大値より大きくならない、つまりAの上限が存在することを指します。

上限が存在すれば上有界である

命題の「Aが上限を持つならばAは上に有界である」を確認するために、Aの上限をLとしましょう。上限Lが存在するならば、LはAのすべての元より大きいか等しい実数です。これにより、AはLという上限を持ち、したがってAは上有界であることがわかります。要するに、Aに上限が存在すれば、その上限がAを上に有界にするため、命題は正しいことが確認できます。

例を挙げて理解を深める

具体例を挙げて考えましょう。例えば、A = {x ∈ R | x ≤ 5} の場合、Aの上限は5です。この場合、Aは5という最大値で上有界であり、上限が存在することを示しています。

なぜ上に有界であるのか

上限が存在するということは、集合Aがある実数より大きくなることがないことを意味します。これが「上に有界である」という状態で、実数体の特性を利用してその集合の元が制限されることを確認できます。

まとめ

結論として、実数体の部分集合が上限を持つならば、その部分集合は上に有界であるという命題は正しいことが確認できました。上限の定義とその意味を理解することで、この命題がどうして成立するのかが明確にわかります。