三角形に内接する円の中心の座標を求める方法と絶対値の扱い

高校数学の問題で、三角形に内接する円の中心を求める際、点と直線の距離の公式を使うことがあります。その際、絶対値が分母に含まれ、2つの答えが出ることがあります。今回は、その2つの答えがどのように解釈されるのか、そしてどちらが円の中心に対応するのかについて解説します。

1. 三角形に内接する円の中心を求める方法

三角形の内接円の中心は、三角形の各辺に対する垂直二等分線の交点です。この点が円の中心となり、三角形の各辺と内接円が接する場所になります。具体的には、各辺の直線方程式を求め、それらの垂直二等分線を求めることで円の中心を決定します。

点と直線の距離を求める公式は、点(x₀, y₀)と直線Ax + By + C = 0の距離dを以下のように求めます。

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

この公式を使用して、円の中心の座標を求めるために、各辺との距離を計算します。

絶対値を含む距離の公式を使うと、計算結果として正の値と負の値が出ることがあります。しかし、距離は常に正の値として扱われるため、どちらの値が正しいかを判断する際には、問題の設定や図と照らし合わせることが重要です。

例えば、座標計算において2つの候補が出た場合、グラフに描かれた三角形の位置関係や直線との交点から、どちらが適切な答えかを選ぶことができます。

円の中心として正しい解は、計算によって得られた2つの座標のうち、実際に内接円の中心として符合する位置にある方です。一般的に、1つの解が理論的に不可能な場合や、座標が論理的に一致しない場合には、その答えは選ばれません。

三角形に内接する円の中心を求める際には、点と直線の距離の公式を使用しますが、絶対値が分母に含まれているため、2つの解が得られることがあります。正しい解を選ぶためには、問題の図と照らし合わせて、実際にどの座標が円の中心となるのかを確認することが重要です。