複素数平面上で、方程式 |z – 2i| = |z – 4| が満たされる点の集合がどのような図形を形成するのかを探ります。まず、この方程式は複素数の絶対値を使って表されており、ジオメトリックに考えると、これは2点（2iと4）の距離が等しい位置を求めている問題です。
1. 絶対値の意味と方程式の解釈
方程式 |z – 2i| = |z – 4| の意味は、複素数 z が 2点 2i と 4 の距離が等しい位置にある点の集合を表しているということです。複素数平面では、z = x + yi として、点 z は実数軸と虚数軸が交わる座標平面に描かれます。ここで 2i と 4 は、複素平面上の2つの固定された点です。
2. 図形の形状
この方程式が表す図形は、2点 2i と 4 を結ぶ線分の垂直に中垂線となります。なぜなら、複素数平面における絶対値 |z – 2i| は点 z と点 2i の距離を意味し、|z – 4| は点 z と点 4 の距離を意味しているからです。この二つの距離が等しいということは、点 z が 2i と 4 のちょうど中間にあることを意味し、さらにその距離が等しい位置にある全ての点を繋げたものが垂直二等分線になるのです。
3. 実際の入試や問題での扱い
実際の問題では、このような問題が出題されるとき、通常、解答者は方程式が示す「中垂線」を図示するか、またはその方程式が描く図形を確認して解くことになります。方程式の絶対値部分が示すのは、実際には2点間の距離が等しい位置、すなわち2点を結ぶ線分の中垂線であるため、複雑な計算を行う必要はなく、図形的に解くのが最も簡単で効果的です。
4. 図形としての特徴と利用方法
このような方程式が表す図形は、通常、線分の中垂線にあたりますが、入試ではこの理論を活用して、さらに複雑な問題に取り組むことができます。例えば、特定の範囲内での座標を求める問題などです。このように、複素数平面上での幾何学的な解釈を通じて、数学的な理解を深めることが可能です。
5. まとめ
方程式 |z – 2i| = |z – 4| は、複素数平面上で2点（2iと4）を結ぶ線分の垂直二等分線を示す図形になります。入試問題では、このような問題を幾何学的に解くことで効率的に解答を導くことができます。重要なのは、絶対値が示す意味を理解し、それが平面上でどのような図形を形成するのかを把握することです。
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