等差数列と等比数列が絡む問題は、初めて学ぶときに少し難しく感じることがありますが、数学的なアプローチと数式の操作をしっかり理解することで、確実に解けるようになります。この問題は、特に式を操作する過程において、注意すべきポイントがいくつかあります。
問題の整理
問題文をまず整理しましょう。与えられた数列は次のように表されます。
Sn = 1・2 + 3・2² + 5・2³ + … + (2n – 1)・2ⁿ
この式は、等差数列と等比数列の積を含む数列の和を求める問題です。ここでのポイントは、式の両辺に2倍をして引き算を行うという操作を適切に理解することです。
2倍をしたときの式変形の理解
まず、式を2倍すると、次のような式が得られます。
2Sn = 1・2² + 3・2³ + 5・2⁴ + … + (2n-1)・2ⁿ + (2n+1)・2ⁿ
ここで注意しなければならないのは、最後の項が (2n – 3)・2ⁿ になるという点です。これについて詳しく見ていきます。
なぜ (2n – 3) になるのか
式を2倍した後に現れる項の変化は、実は数列の構造に起因しています。元の式では、各項において 2n – 1 という形が出てきますが、式を2倍することで、それぞれの項が一つ前の項の倍数となり、見かけ上「-3」という変化が生じます。この変化は数列の構造における重要な特徴です。
実際の計算の例
具体的な例を挙げてみましょう。例えば、n = 3 のとき、元の式は次のようになります。
Sn = 1・2 + 3・2² + 5・2³
これを2倍した式は。
2Sn = 1・2² + 3・2³ + 5・2⁴ + 7・2⁵
このように、項が2倍されるとともに、数列がどのように変化していくかを視覚的に理解できます。
まとめ
このように、等差数列と等比数列を組み合わせた問題では、数式の操作とその意味をしっかりと理解することが重要です。特に、式を変形する際には、どのように項が変化していくのかを丁寧に追っていくことで、より正確な理解が得られます。最初は難しく感じるかもしれませんが、実際に手を動かして計算してみると、自然に理解が深まります。
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