50本のくじの中から10本を引いたときの当たりくじの期待値を求める方法

この問題では、50本のくじの中に20本の当たりくじがあり、そこから10本を引いたときに当たりくじの本数の期待値を求める問題です。答えは4ということですが、引いたくじを戻さない場合でも確率が一定である理由についても説明します。

問題の設定と期待値の定義

まず、50本のくじのうち20本が当たりくじであり、残りの30本が外れくじです。くじを10本引いたときに当たりくじが何本出るかを確率変数Yで表し、その期待値E[Y]を求めます。期待値は「確率変数の平均的な値」を意味し、確率変数にその確率を掛け合わせた値の合計です。

引いたくじを戻さない場合、確率は順番によって変わるのではないかと感じるかもしれませんが、この場合でも確率が一定になる理由は「期待値の線形性」にあります。個別の事象における確率は変動しますが、期待値を求めるために使う平均的な確率が一定であるため、引く順番に関係なく、確率が一定とみなせます。

期待値E[Y]を求めるためには、1回のくじ引きで当たりくじが出る確率を求め、その確率を10回引いたときに10回分足し合わせます。具体的には、1回のくじ引きで当たりくじが出る確率は20/50です。よって、10回の引きで当たりくじが出る期待値は、(10回) * (20/50) = 4 となります。

この問題の答えが4である理由は、期待値の計算における確率の平均値を使って、1回の引きにおける当たりくじの確率を10回分足し合わせることで求められます。問題文のように、引いたくじを戻さない場合でも、期待値においては確率が一定と考えることができるのです。

この問題では、くじ引きの確率が順番に関係なく一定になる理由と、期待値を求める方法について説明しました。実際にくじ引きを行うわけではなく、確率変数と期待値の概念を使うことで、引いた順番に関係なく期待値を計算することができます。