1/n + 2/n + 3/n + 4/n + 5/n + 6/nが正の整数となるnの個数を求める方法

「1/n + 2/n + 3/n + 4/n + 5/n + 6/n」の値が正の整数になるようなnの個数を求める問題について解説します。この式の解法を求めるために、まずは式の性質を理解し、どのような条件が満たされるかを探ります。

1. 式の簡単化

与えられた式は、「1/n + 2/n + 3/n + 4/n + 5/n + 6/n」となっています。この式は、すべての項がnで割られた形になっており、共通の分母がnとなります。これをまとめると、次のようになります。

1/n + 2/n + 3/n + 4/n + 5/n + 6/n = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / n = 21 / n

式「21/n」が正の整数になるためには、nが21の約数でなければなりません。なぜなら、nが21で割り切れる場合に、商としての値が整数になるからです。

21の約数を求めると、1, 3, 7, 21の4つの値があります。これらの値がnとして適用可能であり、それぞれの場合に「21/n」が整数になります。

それでは、実際に各nの値を代入してみましょう。

どの場合も、式「21/n」の値は正の整数です。

式「1/n + 2/n + 3/n + 4/n + 5/n + 6/n」が正の整数になるためには、nが21の約数である必要があります。したがって、nとして使えるのは1, 3, 7, 21の4つの値です。これらの値が該当するため、答えはnの個数は4つとなります。