3次方程式 x³ = 1 の虚数解における Sn の取り得る値の求め方

この問題では、3次方程式 x³ = 1 の虚数解を使って、Sn = αⁿ + βⁿ (n=1,2,3… ) の値を求める方法を解説します。まず、問題文にあるように、x³ = 1 の虚数解であるαとβを求め、その後でSn の取り得る値を導きます。

3次方程式 x³ = 1 の解の求め方

3次方程式 x³ = 1 は、単純な立方根の方程式です。これを解くと、解は次のようになります。 x = 1, α = e^(2πi / 3), β = e^(4πi / 3) です。α と β は、1 の立方根であり、複素数です。

次に、Sn = αⁿ + βⁿ (n=1,2,3…) の式を考えます。α と β は複素数なので、これらのべき乗の計算には複素数の性質を利用します。まず、αⁿ と βⁿ を計算し、それらを足し合わせることで Sn の値を求めることができます。

実際に計算すると、Sn の取り得る値は、n によって周期的に変化することがわかります。具体的には、Sn = αⁿ + βⁿ の式は、複素数の性質により、周期的な値を取ります。計算を通じて、この値の周期性を確認できます。

この問題の難易度は、大数評価で言うと B（中）程度です。基本的な複素数の計算や周期性の理解が求められますが、数学の基礎があれば理解しやすい内容です。

この問題では、3次方程式 x³ = 1 の虚数解を用いて、Sn の取り得る値を求める問題でした。複素数の性質やべき乗の計算を活用することで、解法を導き出すことができます。数学的な理解を深めるために、周期性に関する考察を行うことも重要です。