f(x) = (e^x - e^-x)/2 の逆関数 g(x) と積分 ∮0から5/4のg(x)dx の解法

この問題では、関数 f(x) = (e^x – e^-x)/2 の逆関数 g(x) を求め、その積分 ∮0から5/4の g(x)dx を解くことが求められています。ここでは、f(x) の逆関数を求める過程と、積分の解き方を順を追って説明します。

関数 f(x) の逆関数 g(x) の求め方

まず、f(x) = (e^x – e^-x)/2 は双曲線関数の一つであり、これを逆関数である g(x) に変換するには、次の手順で解きます。

f(x) = (e^x – e^-x)/2 から x を求めるために、まず両辺に2を掛けて、次のように式を整理します。

2f(x) = e^x - e^-x

次に、左辺の式を指数関数の性質を用いて変形します。これにより、x をg(x) として逆関数を得ることができます。

g(x) を求めるために、次の式を利用します。

x = ln(g(x) + sqrt(g(x)^2 + 1))

これにより、f(x) の逆関数 g(x) が得られます。g(x) については、x の値に対して反転した形で解釈できることがわかります。

次に、g(x) の積分 ∮0から5/4の g(x)dx を求める問題に進みます。ここでは、g(x) が逆関数であり、これを使って積分計算を行います。

この積分問題を解くためには、まずg(x) の関数式を正確に求め、積分範囲 0 から 5/4 の間で積分を行う必要があります。g(x) を積分するには、次のように積分式を立てて計算します。

∮0から5/4の g(x)dx

積分計算を行うことで、g(x) の値を求め、最終的な積分値が得られます。積分の解法においては、正しい逆関数 g(x) の求め方と、積分の基本的な計算手順を理解することが大切です。

この問題は、まず関数 f(x) = (e^x – e^-x)/2 の逆関数 g(x) を求め、その後に g(x) の積分を計算する問題でした。逆関数の求め方と積分の計算を順を追って行うことで、正しい解答に到達することができます。