重複を許す場合の数の公式: Nのr乗とn+r-1Crの違いと例題解説

中学数学における「重複を許す場合の数」の問題は、特に組み合わせの公式を理解することが重要です。今回は、「Nのr乗」と「n+r-1Cr」の違いについて詳しく解説し、例題を通してその理解を深めましょう。

重複を許す場合の数の基本

まず、重複を許す場合の数は、同じものを選ぶことが許される場合の組み合わせを求める問題です。例えば、袋から赤いボールを何回でも取り出すことができるとき、何通りの取り出し方があるかを考えます。このような場合に使われるのが、「Nのr乗」と「n+r-1Cr」という2つの式です。

「Nのr乗」とは、N種類のものからr個を選ぶ場合に、順序を考慮して選ぶ場合の数を示します。具体的には、順番を考慮することで「取り出し方」が異なる場合の数を計算します。つまり、順番を重視した場合です。

一方で「n+r-1Cr」は、順序を考慮せずに、n種類のものからr個を選ぶ場合の数です。重複が許されている場合、順番に関係なく同じ組み合わせとして数えられます。

例題として、3種類の果物から2つを選ぶ場合を考えます。重複を許す場合です。まず、Nのr乗の場合は、3つの果物から順番を考慮して2つを選ぶ場合です。これを計算すると、3×3 = 9通りです。

一方で、n+r-1Crの場合、これは重複を許して順番を考慮しない場合で、(3+2-1)C2 = 4C2 = 6通りです。つまり、順番を考慮しない場合、取り出し方は6通りであることがわかります。

重複を許す場合の数の計算は、Nのr乗とn+r-1Crの式を使い分けることが重要です。順番を考慮する場合はNのr乗、順番を考慮しない場合はn+r-1Crを使います。例題を解きながら、どちらの式を使うべきかを判断し、問題に取り組むことが大切です。