単位円上の点の座標を三角関数で表す問題は、多くの高校生がつまずきやすいテーマです。特に、どの角度を基準にしてsinやcosを使っているのかが曖昧なままだと、式の意味が分からなくなりがちです。ここでは、原点Oを中心とする単位円と点B(0,1)、点Pの位置関係から、なぜPの座標が(sinθ, cosθ)になるのかを順を追って整理します。
単位円と基本的な角度の考え方
単位円とは、中心が原点Oで半径が1の円のことを指します。通常、三角関数ではx軸の正の向きとOPがなす角を基準角として、その点Pの座標を(cosα, sinα)と表します。この「x軸基準」という点が、今回の問題を理解するうえで重要な前提です。
今回の設定では、x軸ではなく、点B(0,1)方向、つまりy軸の正の向きが基準として使われています。そのため、一般的な定義とのズレを意識する必要があります。
∠POB = θ という条件の意味
点B(0,1)は、y軸の正の方向にある点です。∠POB = θ とは、「OPとOBがなす角がθである」という意味になります。つまり、OPはy軸の正の方向からθだけ回転した位置にある線分だと考えられます。
ここで重要なのは、OPがx軸から直接θだけ回転しているわけではない、という点です。回転の基準はあくまでOB（y軸方向）です。
なぜx軸との角度がπ/2 − θになるのか
x軸の正の方向からy軸の正の方向までは、角度にしてπ/2（90度）です。OPはそのy軸方向からさらにθだけ傾いているため、x軸からOPまでの角度はπ/2 − θとなります。
図形的に考えると、「x軸 → y軸」がπ/2、「y軸 → OP」がθなので、「x軸 → OP」はそれらの差になる、という関係です。これが解説にある「x軸とOPのなす角はπ/2−θ」という一文の意味です。
三角関数の変換で座標を求める
x軸となす角がπ/2−θである点Pは、単位円上にあるため、その座標は(cos(π/2−θ), sin(π/2−θ))と書けます。
ここで三角関数の基本公式であるcos(π/2−θ)=sinθ、sin(π/2−θ)=cosθを用いると、Pの座標が(sinθ, cosθ)と整理されます。この変換自体は公式を知っていれば自然に理解できる部分です。
まとめ：基準となる角度に注目することが理解の鍵
この問題が分かりにくく感じられる理由は、「どの軸を基準に角度を測っているか」が途中で切り替わっている点にあります。y軸を基準に定義された角θを、x軸基準の三角関数に直すためにπ/2−θという調整が必要になります。
単位円の問題では、角度の基準がどこなのかを常に意識することで、sinやcosの使い方が一気に分かりやすくなります。
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