積分 ∫[0,∞] x/(1+x^4 sin^2 x) dx の収束・発散の判定方法

積分の収束や発散を判定する際には、積分対象の関数の性質やその振る舞いを解析する必要があります。本記事では、積分 ∫[0,∞] x/(1+x^4 sin^2 x) dx の収束・発散をどのように判定するかを解説します。

積分の収束・発散とは？

収束とは、積分の結果が有限の値に収束することを意味し、発散は積分結果が無限大に向かうことを意味します。無限積分の場合、特に積分範囲が無限である場合、その収束や発散を正しく判定することが重要です。

まず、積分の式を確認します。

∫[0,∞] x/(1+x^4 sin^2 x) dx

この積分式では、分子にxが、分母にx^4とsin^2 xを含んだ式が現れています。この式の収束・発散を判定するためには、xが大きくなる場合、つまりx→∞の挙動を調べることが重要です。

xが大きくなるにつれて、sin^2 xは周期的に変動しますが、常に0から1の範囲に収束します。そのため、分母のx^4 sin^2 xの挙動はx^4に近づき、分母はx^4のオーダーで成長します。

したがって、xが大きくなると、積分の式は次のように近似できます。

f(x) ≈ x / (x^4) = 1 / x^3

このように、xが大きくなると、積分の式は1/x^3に近似されます。

次に、比較積分法を用いて収束・発散を判定します。1/x^3の積分は、次のように求めることができます。

∫[1,∞] 1/x^3 dx = 1 / 2

この積分は収束します。したがって、元の積分も同様に収束することが分かります。

積分 ∫[0,∞] x/(1+x^4 sin^2 x) dx は、無限大で1/x^3に近似されるため、収束することが分かります。収束・発散の判定は、無限大での関数の振る舞いを調べ、比較積分法などを用いて行うことが一般的です。