周期関数のフーリエ級数展開：1なしでの表現について

大学1年生の工学部で学ぶフーリエ級数展開の問題に関する質問です。周期2L関数をフーリエ級数展開する際、一般的な展開では1（定数項）も含まれるのが通常ですが、この場合、1なしでsin nπx/Lやcos nπx/Lの関数列だけで表現できるかという点に疑問を持つことがあります。この記事では、フーリエ級数展開におけるこの疑問について、定性的に解説します。

フーリエ級数展開の基本

フーリエ級数展開は、周期関数を三角関数の和として表現する方法です。周期関数f(x)が周期2Lを持つ場合、そのフーリエ級数は次のように表されます。

f(x) = a0 + Σ (an cos(nπx/L) + bn sin(nπx/L))

ここで、a0は定数項（0周波数成分）であり、an、bnはそれぞれcosとsinの係数です。一般的には、このように1（定数項）が必ず含まれますが、質問のように1なしでsinやcosだけで表現する場合もあります。

定数項がなくてもフーリエ級数展開は可能

質問にあるように、f(Ｌ)=f(-Ｌ)=0という条件が与えられている場合、この関数は定数項（a0）を持たないことが確定します。つまり、1なしで、sin nπx/L や cos nπx/L の関数列でフーリエ級数展開が可能です。

その理由は、関数が周期的であり、またf(Ｌ)=f(-Ｌ)=0という境界条件があるため、関数は0で閉じるように定義されています。この場合、関数がすべてのnに対して正弦波と余弦波の和として表現できるため、定数項は必要ありません。

1なしでフーリエ級数展開を使う際の理解

フーリエ級数展開において1（定数項）が省略される理由は、関数がもともとf(Ｌ)=f(-Ｌ)=0という境界条件を満たしているからです。この条件によって、関数は中央で0になり、そのため定数項は存在しないことが確定します。

その結果、この関数は正弦波と余弦波だけで完全に表現できるため、1なしで展開することができます。この考え方は、フーリエ級数の展開における一般的な理論に基づいています。

まとめ

フーリエ級数展開において、1（定数項）なしでsin nπx/L や cos nπx/Lの関数列を使用して関数を表現することは可能です。特に、周期関数がf(Ｌ)=f(-Ｌ)=0という境界条件を満たしている場合、このように1なしで展開することが理論的に正しいです。フーリエ級数の基本的な考え方と、この特定のケースを理解することで、より高度な数学的概念にも対応できるようになります。