2次方程式の解とsin2θの関係：解法と実例

2次方程式の解が三角関数の値で表される場合、解の関係を使ってさまざまな式に落とし込むことができます。本記事では、2次方程式の解が sinθ と cosθ の形になる場合の解法を解説し、その結果として求められる sin2θ の値を求める方法について具体的なステップで説明します。

2次方程式の基礎

まず、問題となる2次方程式は、次のような形です。

2x² - x + a = 0

この方程式の解が sinθ と cosθ の形であるとき、どのように進めるべきでしょうか？そのためには、まず解の公式を用いて方程式を解く準備をします。

2次方程式の解の公式は次の通りです。

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

ここで、a、b、c は方程式の係数です。この場合、a = 2, b = -1, c = a となります。

解が sinθ と cosθ であるため、解の和と積に関する特別な性質を使います。二次方程式の解の和と積を次のように表すことができます。

この2つの式が方程式の解に関連しています。これらを利用して、解を求める方法を導き出します。

次に、sin2θ の値を求めます。二重角の公式を使用すると、sin2θは以下のように表されます。

sin2θ = 2sinθcosθ

したがって、sinθ と cosθ の積がわかれば、sin2θの値も簡単に求めることができます。

具体的な例を使って計算を進めていきます。例えば、aの値を特定の数値に設定し、実際に計算を行ってみましょう。計算のステップは次の通りです。

解の和: sinθ + cosθ = -(-1)/2 = 1/2

これを基にして、sin2θの値を求めることができます。

今回の問題では、2次方程式の解が三角関数の値である場合に、解の公式と三角関数の性質を駆使してsin2θの値を求める方法を紹介しました。このような問題は、数学の基礎的な知識を深めるために役立ちます。