漸化式の一般項を導出する方法について、今回は階差数列を例にとり、手順を詳しく解説します。問題に出てくる漸化式a[1]=10, (n+2)a[n+1]=na[n]を使って、一般項の求め方を学んでいきます。
1. 漸化式とは？
漸化式は、数列の各項が前の項に基づいて決まる式です。与えられた初期値と再帰的な関係から、数列の一般項を求める問題です。今回の問題は階差数列に関連しており、n番目の項とn+1番目の項を使って次の項を求める式です。
2. 問題の漸化式の確認
与えられた漸化式は、初期値a[1]=10と次の関係式です。
(n+2)a[n+1] = na[n]
この漸化式を使って、一般項を求めていきます。
3. 漸化式の解法の手順
まずは、漸化式を変形してa[n+1]について解く方法を考えます。
1. 漸化式を整理して、a[n+1] = (n / (n+2))a[n] の形にします。
2. 次に、この関係を使って、a[n+1]、a[n+2]のように次の項がどのように決まるかを確認します。
3. さらに、具体的な数値を代入して、漸化式のパターンを見てみましょう。
4. 一般項の導出とその解釈
一般項を求めるためには、上記の漸化式を使って数列の性質を探ります。この場合、繰り返し計算を行うことで数列の特徴を捉えることができます。
最終的に、漸化式の形式に基づいて、一般項が次の形で表現できることが分かります：a[n] = 10 × (1 / (n+1))。
5. まとめ
漸化式を使った一般項の導出方法について、階差数列のパターンに従い、数列の一般項を求める手順を学びました。漸化式の解法は、まず式の形を整理し、再帰的な関係を使って各項を求めていく方法が有効です。これを理解すれば、他の漸化式問題にも応用できます。
コメント