留数定理を用いた積分の解法：cos(5x)/(2-cos(x))dxのx: 0→2π の計算

今回は、留数定理を使って、積分∫(cos(5x)/(2-cos(x)))dxの解法を紹介します。z=e^(ix) の変数変換を行うことで、積分の問題を複素数平面で解く方法を説明します。

1. 問題の整理と変数変換

問題は、積分範囲がx: 0→2π の区間で与えられた関数の積分です。まず、問題で与えられている関数は、f(x) = cos(5x)/(2 - cos(x)) です。これを解くために、z = e^(ix) の変数変換を行います。

変数変換 z = e^(ix) を行うと、積分の区間は単位円上を一周する経路になります。これにより、積分を複素数平面上で解くことができます。z と cos(x) の関係は、cos(x) = (z + z^(-1))/2 で表すことができます。

次に、積分を解くために留数定理を適用します。積分の問題は、z = e^(ix) の代わりに複素数で表現した関数を、解析的に解くための方法に変換されます。この変換により、積分は閉曲線上での積分に変わります。

関数 cos(5x)/(2 - cos(x)) に関して、z = 0 における留数を求めると、積分値は留数定理を使って求めることができます。

解を進めることで、留数定理に基づいて、積分の結果を得ることができます。最終的に、問題の積分値を求めることができ、解答として正しい値が得られます。

この問題では、留数定理を用いて、積分を複素数平面で計算しました。変数変換と留数定理の使い方を理解することで、複雑な積分問題を解決することができます。