tanθ = √2 のとき、cosθ と sinθ を求める方法と解説

三角比の相互関係の問題で、tanθ = √2 のときに cosθ と sinθ の値を求める方法について解説します。この問題を解くためには、三角比の基本的な関係を理解することが大切です。この記事では、問題の解法と、解説を順を追って説明します。

三角比の基本的な関係

まず、三角比の基本的な関係を復習しましょう。直角三角形において、tanθは次のように定義されます。

tanθ = sinθ / cosθ

また、三角形の斜辺、隣辺、対辺の長さがわかっている場合、sinθやcosθを求めることができます。ここでは、tanθ = √2 という条件から、他の三角比を求めていきます。

tanθ = √2 の場合の三角形

tanθ = √2 という条件から、直角三角形の辺の比を求めることができます。tanθは「対辺 / 隣辺」であるため、tanθ = √2 から次のように設定できます。

対辺 / 隣辺 = √2

よって、対辺を √2 とし、隣辺を 1 とする直角三角形を想定できます。この設定で、斜辺を求めることができます。

斜辺の長さを求める

直角三角形において、斜辺の長さはピタゴラスの定理を使って求めることができます。

斜辺² = 対辺² + 隣辺²

ここで、対辺 = √2、隣辺 = 1 ですので。

斜辺² = (√2)² + 1² = 2 + 1 = 3

したがって、斜辺の長さは √3 です。

cosθ と sinθ の値を求める

次に、cosθ と sinθ の値を求めます。三角形の辺の長さがわかれば、三角比を求めることができます。

• cosθ = 隣辺 / 斜辺 = 1 / √3 = √3 / 3
• sinθ = 対辺 / 斜辺 = √2 / √3 = √6 / 3

答えの確認

問題の答えとして、cosθ = √3 / 3、sinθ = √6 / 3 となります。質問者が提出した答え「cosθ = √3分の1」「sinθ = √3分の√2」は間違いです。正しい答えは、cosθ = √3 / 3、sinθ = √6 / 3 です。

まとめ：tanθ = √2 の場合の cosθ と sinθ の求め方

tanθ = √2 のとき、cosθ と sinθ を求める方法は、まず直角三角形を描き、対辺と隣辺の比から斜辺を求め、その後、三角比の定義に従って計算を行います。今回の問題では、cosθ = √3 / 3、sinθ = √6 / 3 という結果になります。この方法を理解すれば、類似の三角比の問題にも応用が可能です。