sinx ≦ tanxの解法：0 ≦ x < 2πでの解を求める

数学IIの問題で、与えられた不等式「sinx ≦ tanx」の解を求める方法について解説します。この問題では、0 ≦ x < 2πの範囲で解を求めます。問題の解法を段階的に追っていきますので、各ステップを理解することが重要です。

不等式sinx ≦ tanxの成り立ち

まず、sinx ≦ tanxという不等式を考えます。tanxはsinxとcosxの比であり、tanx = sinx / cosxという式で表されます。このため、sinx ≦ tanxを変形すると、sinx ≦ sinx / cosxとなり、両辺をcosxで掛け算できます（ただし、cosx ≠ 0）。

その後、不等式が成立するための条件を考慮しながら解を求めます。特に、cosxの符号に注目することが大切です。

解法の手順

解法に入る前に、まず問題をxの範囲0 ≦ x < 2πに限定します。これにより、xがどの範囲でsinx ≦ tanxが成立するかを求めます。

次に、sinx ≦ tanxを解析するためにグラフや数式を用います。解法を進めると、解は0 ≦ x < π/2 および π ≦ x < 3/2πで成り立つことがわかります。

sinx ≦ tanxの範囲

具体的にどの範囲で不等式が成立するのかを調べると、以下のようになります。

• 0 ≦ x < π/2 の範囲では、sinx ≦ tanxが成立します。
• π ≦ x < 3/2π の範囲でも、同じくsinx ≦ tanxが成立します。

このように、2つの範囲で不等式が成立することがわかります。

まとめ

今回の問題では、sinx ≦ tanxの不等式を解く際に、0 ≦ x < 2πという範囲で解を求めました。解は0 ≦ x < π/2およびπ ≦ x < 3/2πの2つの範囲で成立します。この問題を解くためには、三角関数の性質を理解し、sinxとtanxの関係をうまく利用することが重要です。