数Ⅱ 2倍角の問題の解き方 | π/2 < α < π の範囲における正負の判別

このページでは、数Ⅱの2倍角の問題において、与えられた範囲 π/2 < α < π のときのcosαの正負の判別方法と解法について解説します。特に、2倍角の式を使う際にどのように正負を区別すべきかを学びます。

1. 2倍角の公式とは？

まず、2倍角の公式をおさらいしましょう。2倍角の公式は、三角関数の基本的な性質を使って、任意の角度αに対するsin(2α)やcos(2α)を求めるための式です。例えば、cos(2α)は以下のように表されます。

cos(2α) = cos²α – sin²α

次に、与えられた範囲 π/2 < α < π に注目します。この範囲では、角度αは第二象限にあり、x軸とy軸の関係によって三角関数の符号が決まります。具体的には、π/2 < α < π の範囲では、cosαが負で、sinαが正であることがわかります。

したがって、この範囲での2倍角の公式を使う際には、cos(2α)の符号に注意が必要です。

π/2 < α < π の範囲で、cosαが負である理由についてもう少し詳しく見ていきましょう。これは、x軸方向が負で、y軸方向が正である第二象限の特性に基づいています。

したがって、この範囲では2倍角の式を使ってcos(2α)を求めるときに、x軸とy軸の符号がどのように影響するのかを考慮する必要があります。

実際に、π/2 < α < π の範囲での例を使って、cos(2α)の計算を行ってみましょう。例えば、α = 2π/3 とすると、cos(α)は負で、sin(α)は正です。この値を2倍角の公式に代入して計算することで、符号の判別とともに計算結果がどのように得られるかを確認できます。

このように、数Ⅱの2倍角の問題を解く際には、π/2 < α < π の範囲における三角関数の符号をしっかり理解し、公式を適切に適用することが重要です。特に、cos(2α)の符号が負であることに留意しながら計算を進めることで、正確な解答が得られます。