三角比の相互関係：cosθからsinθとtanθを求める方法

三角比の問題で、cosθの値が与えられたときに、sinθとtanθを求める方法を理解することは、高校数学の基本的な技術です。今回は、cosθ = 1/3 のときに、sinθとtanθを求める方法を解説します。

三角比の基本的な関係

三角比には基本的な関係式があります。特に重要なのは、以下の三つの式です。

これらの関係を使って、与えられた値から他の三角比を求めることができます。

問題では、cosθ = 1/3 と与えられています。この情報を使って、sinθとtanθを求める方法を順番に説明します。

まず、sinθを求めます。三角比の基本的な関係式 sin²θ + cos²θ = 1 を使います。

cos²θ = (1/3)² = 1/9 なので、sin²θ = 1 – 1/9 = 8/9 です。

これを使ってsinθを求めると、sinθ = √(8/9) = 2√2 / 3 となります。

次に、tanθを求めます。tanθは、sinθをcosθで割った値です。すでに求めたsinθ = 2√2 / 3 とcosθ = 1/3 を使って、tanθを計算します。

tanθ = (2√2 / 3) ÷ (1/3) = 2√2 となります。

したがって、sinθ = 2√2 / 3、tanθ = 2√2 となります。問題文で与えられた答え「sinθ = 3分の2√2、tanθ = 2√2」は、実際には一部誤りがあり、正しい答えは上記の通りです。

cosθが与えられたときに、sinθやtanθを求めるには、三角比の基本的な関係式を活用することが大切です。今回の問題を解くことで、三角比の基礎的な計算方法を学び、他の問題にも応用できるようになります。