数学の問題でよく登場するのが、与えられた曲線上の点における接線の条件をもとに、曲線の定数を求める問題です。この記事では、曲線y = x³ + ax + b上の点(1, 2)における接線の条件をもとに、定数aとbの値を求める方法を解説します。
問題の条件を整理する
与えられた曲線の方程式はy = x³ + ax + bです。この曲線上の点(1, 2)における接線に関する2つの条件が与えられています。
- 接線が原点Oを通る。
- 接線の傾きが4である。
この2つの条件を使って、定数aとbの値を求めます。
接線の傾きと方程式の導出
まず、接線の傾きを求めるために、曲線の導関数を計算します。曲線の方程式y = x³ + ax + bの導関数は。
y' = 3x² + a
この導関数は、曲線の任意の点における接線の傾きを与えます。点(1, 2)における接線の傾きが4であるとき、x = 1を代入して次の式を得ます。
y'(1) = 3(1)² + a = 4
これを解くと、a = 1となります。
接線が原点Oを通る条件を使う
次に、接線が原点Oを通るという条件を利用します。接線の方程式は、点(1, 2)での接線の傾きが4であることから、点(1, 2)を通る直線の方程式として次のように表せます。
y - 2 = 4(x - 1)
この式を展開すると。
y = 4x - 2
接線が原点Oを通るためには、x = 0, y = 0を代入したときに成立する必要があります。このとき、y = 0のときxの値を代入して。
0 = 4(0) - 2 + b
これを解くと、b = 2となります。
最終的な解答
したがって、定数aとbの値は次の通りです。
- a = 1
- b = 2
これにより、曲線y = x³ + ax + bにおいて、接線の条件を満たす定数aとbの値が求められました。
まとめ
この問題では、与えられた曲線の接線に関する2つの条件を使って、定数aとbの値を求めました。導関数を用いて接線の傾きを求め、その後、接線が原点を通る条件を用いてbを求めることで、aとbの値を正確に計算することができました。
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