1/cos(x)の不定積分の解法と途中経過の書き方

不定積分の問題を解く際、答えだけでなくその途中経過を示すことが求められることがあります。このような場合、積分の計算過程をしっかりと示すことが重要です。この記事では、1/cos(x) の不定積分をどのように解き、途中経過をどのように記述すべきかを解説します。

1/cos(x)の不定積分の基本的な解法

まず、1/cos(x) の不定積分を計算するために、式を適切に変形する必要があります。1/cos(x) は、cos(x) の逆数であるため、最初に変形することで計算がしやすくなります。具体的には、1/cos(x) = sec(x) と表せることを利用します。これにより、不定積分は次のように変形されます。

∫1/cos(x) dx = ∫sec(x) dx

sec(x) の不定積分

sec(x) の不定積分を計算するためには、一般的に次の公式を使います。

∫sec(x) dx = ln |sec(x) + tan(x)| + C

したがって、1/cos(x) の不定積分も同様に、最終的に次のような形で求めることができます。

∫1/cos(x) dx = ln |sec(x) + tan(x)| + C

途中経過の記述方法

問題で途中経過を示すよう求められた場合、解法の過程をしっかりと記述することが重要です。例えば、sec(x) に変形した後、その積分を行い、最後に結果をまとめる過程を見せる必要があります。具体的には、次のように記述します。

1/cos(x) = sec(x) という形に変形

∫sec(x) dx = ln |sec(x) + tan(x)| + C

このように、問題において求められた途中経過をしっかりと記述することで、解答が明確になり、点数が高くなる可能性が高いです。

実例: 1/cos(x) の不定積分

具体的な例として、1/cos(x) の不定積分を実際に解いてみましょう。問題は次のようになります。

∫(1/cos(x)) dx

まず、1/cos(x) を sec(x) に変形します。次に、sec(x) の不定積分公式を使って計算します。計算結果は以下の通りです。

∫sec(x) dx = ln |sec(x) + tan(x)| + C

まとめ

1/cos(x) の不定積分を解く際は、まず式を sec(x) に変形し、そこから積分を行います。途中経過を示す際には、式変形や公式の適用過程をしっかり記述することが重要です。このように積分の過程を正確に示すことで、問題の解答がより分かりやすく、正確になります。