勾配ベクトルの問題解説：温度分布T(x, y) = 4x - 2yにおける勾配の最大値と方向

この問題では、与えられた温度分布の関数T(x, y) = 4x – 2yに基づいて、点P(3, 1)での勾配の最大値と、勾配が最大となる方向での大きさが1のベクトルuを求める方法を解説します。

1. 勾配ベクトルとは？

まず、勾配ベクトルとは、スカラー場（ここでは温度分布）の各点で最も急速に変化する方向を示すベクトルです。勾配ベクトルは、スカラー関数の各変数での偏微分を含んでおり、その向きと大きさは関数の変化の速さと向きを示します。

温度分布T(x, y) = 4x – 2yが与えられているので、この関数の勾配ベクトルを求めます。勾配ベクトルは次のように計算できます。

勾配ベクトル ∇T = (∂T/∂x, ∂T/∂y)

まず、xでの偏微分を計算すると、∂T/∂x = 4 となります。次に、yでの偏微分を計算すると、∂T/∂y = -2 となります。したがって、勾配ベクトルは ∇T = (4, -2) となります。

勾配ベクトルは点P(3, 1)での温度分布の変化を示しています。この場合、勾配ベクトルはそのままで、点P(3, 1)での勾配ベクトルも ∇T = (4, -2) となります。

勾配ベクトルは、最も急速に変化する方向を示しているため、このベクトルが示す方向が勾配が最大となる方向です。次に、勾配ベクトルの大きさ（ノルム）を求めます。大きさは次のように計算できます。

大きさ ||∇T|| = √(4² + (-2)²) = √(16 + 4) = √20 ≈ 4.47

したがって、勾配の最大値は約4.47となります。

勾配ベクトルの方向で大きさが1のベクトルuを求めるためには、勾配ベクトルをその大きさで割ります。すなわち。

u = (1/||∇T||) * ∇T = (1/4.47) * (4, -2) ≈ (0.894, -0.447)

したがって、勾配が最大となる方向で大きさが1のベクトルuは、(0.894, -0.447) となります。

この問題では、与えられた温度分布の関数から勾配ベクトルを求め、点P(3, 1)での勾配が最大となる方向とその大きさ1のベクトルを計算しました。勾配ベクトルの計算方法や、方向と大きさを求める方法を理解することが大切です。