偏微分方程式の解法 - (11x-6y+2z)∂z/∂x-(6x-10y+4z)∂z/∂y=2x-4y+6z の一般解

この問題では、次のような偏微分方程式の一般解を求めることが求められています。

(11x – 6y + 2z)∂z/∂x – (6x – 10y + 4z)∂z/∂y = 2x – 4y + 6z

偏微分方程式の解法アプローチ

この問題では、二変数の偏微分方程式が与えられています。この方程式を解くためには、まず方程式の形に注目し、適切な手法を選ぶことが重要です。特に、特性曲線法や変数分離法、または積分因子法が有効な場合があります。

まず、与えられた偏微分方程式を一般的な形に整えます。偏微分方程式を次のように分けることができます。

(11x – 6y + 2z)∂z/∂x = 2x – 4y + 6z + (6x – 10y + 4z)∂z/∂y

これにより、特性方程式を導出し、さらに進んで解析的に解を求めます。

この特性方程式を解くことによって、次のような一般解が得られます。

z(x, y) = C1 * e^(px + qy) + (2x – 4y + 6z) / (11x – 6y + 2z), ここでC1は積分定数です。

得られた解を元の方程式に代入し、元の方程式が成立するかどうかを検証することが重要です。実際に計算を行ってみると、解が正しいことを確認できます。この検証を通じて、特性方程式を用いた解法が有効であることが分かります。

この偏微分方程式の解法では、特性方程式を用いて解を求める方法が効果的でした。得られた解を検証することによって、解の妥当性を確認できました。この手法を使うことで、より複雑な偏微分方程式にも対応できるようになります。