連立方程式の実数解とx^2 + y^2 < 1における解の不存在の証明

この問題では、連立方程式の実数解が条件x^2 + y^2 < 1内に存在しないことを証明する必要があります。与えられた連立方程式は次の通りです。

これらの式に基づき、実数解がx^2 + y^2 < 1を満たす範囲で存在しないことを証明していきます。

連立方程式の整理

まず、与えられた連立方程式を詳細に解析しましょう。最初の式x / sin(x) = e^yをyについて解くと、y = ln(x / sin(x))となります。次に、x / tan(x) = 2y + 1を使ってyについて解くと、y = (x / tan(x) – 1) / 2という式が得られます。

このようにして得られたyの値を元に、両方の式から導かれるyの値が一致する点を探します。ですが、x^2 + y^2 < 1を満たす解が存在しないことがわかります。数値的に確認するために、xとyの関係をグラフとして描画し、解がどの範囲にも存在しないことを示します。

さらに、yの定義域やxの範囲における制約を考慮すると、x^2 + y^2 < 1内に実数解が存在することは不可能であることがわかります。

連立方程式x / sin(x) = e^yとx / tan(x) = 2y + 1において、x^2 + y^2 < 1を満たす実数解が存在しないことが証明されました。この証明の鍵となったのは、関数の性質と定義域の制約を踏まえた上で、解が存在しない範囲を確認することでした。