袋から赤玉と白玉を取り出す確率問題の解き方：試行回数と確率の計算

この問題では、袋の中に赤玉と白玉が入っており、玉を取り出して元に戻す試行を繰り返し、赤玉が出る確率を求めます。具体的には、何回の試行で赤玉が出るか、またその試行回数が与えられた範囲に収まる確率を求める問題です。以下では、各問の解き方をステップバイステップで解説します。

問題(1): ２回赤玉が出るまで試行を繰り返す場合

まず、1回の試行で赤玉が出る確率を p とします。問題では、2回赤玉が出るまで試行を繰り返すとき、試行回数が3回以下になる確率を求めることが求められています。

この問題は「負の二項分布」に基づいています。2回赤玉を出すまでの試行回数が3回以内になる確率を計算するためには、次のような確率を求めます。

試行回数が1回目、2回目、または3回目で2回赤玉が出る確率を計算し、その合計を求める方法です。計算式を立てると、試行回数が3回以内で2回赤玉が出る確率は、確率論に基づく合計で求められます。

問題(2): ２回連続して赤玉が出るまで試行を繰り返す場合

次に、2回連続して赤玉が出るまで試行を繰り返す場合の、試行回数が4回以下になる確率を求めます。この問題は「連続した成功」が関わっており、赤玉が2回連続で出る確率を考慮します。

試行回数が4回以内で2回連続して赤玉が出る確率を求めるためには、まず赤玉が出る確率 p と、その後に続く連続した赤玉の確率を掛け合わせる必要があります。この確率も、確率論を用いて計算できます。

問題(3): 赤玉と白玉の差が2になるまで試行を繰り返す場合

最後に、赤玉を取り出した回数と白玉を取り出した回数の差が2になるまで試行を繰り返す場合、試行回数が n 以下で赤玉が2回多く出る確率を求めます。

この問題は「ランダムウォーク」に関連しており、赤玉と白玉の取り出しの差を追いかける形式です。試行回数が n 回以内で赤玉が2回多く出る確率は、数式と確率論を使って計算することができます。具体的には、赤玉の出現回数が白玉よりも多くなるために必要な確率を計算します。

まとめ

このように、確率問題では試行回数と確率を計算するために、さまざまな確率論や統計の知識を使います。問題(1)と(2)では負の二項分布と連続成功に関連する確率を求め、問題(3)ではランダムウォークの理論を用いて赤玉と白玉の差が2になる確率を計算します。こうした問題を解くためには、確率論の基本的な理解と適切な計算方法が必要です。