sinθ − √3cosθ = √3 の解法と合成の過程の理解

この記事では、「sinθ − √3cosθ = √3」の式をどのように解くか、また合成の後に現れる範囲について詳しく解説します。このような三角関数の式を理解することは、数学の問題を解く上で非常に重要です。さっそく解法に取り組みましょう。

問題の合成の方法

最初に、式「sinθ − √3cosθ = √3」を合成する方法を見ていきます。ここでは、三角関数の加法定理を使って、式を単一の三角関数にまとめる方法を考えます。まず、sinθ − √3cosθをA・sin(θ + φ)という形に合成することを目指します。

まず、Aとφを求める必要があります。式をA・sin(θ + φ)の形にするために、次のような恒等式を使います。

sin(θ + φ) = sinθ・cosφ + cosθ・sinφ

これを元に、次の等式を導きます。

A・sin(θ + φ) = A・(sinθ・cosφ + cosθ・sinφ)

ここで、sinθとcosθの係数が一致するように、A・cosφ = 1、A・sinφ = −√3となるようにAとφを求めます。これを解くと、A = 2、φ = −π/3となります。したがって、sinθ − √3cosθは2・sin(θ − π/3)に合成されることが分かります。

次に、合成した式を使って問題を解きます。

2・sin(θ − π/3) = √3

両辺を2で割ると。

sin(θ − π/3) = √3/2

sin(θ − π/3) = √3/2となるθの解を求めます。この方程式は、標準的な三角関数の解法に従って解きます。sin(θ − π/3) = √3/2は、θ − π/3 = π/3またはθ − π/3 = 2π − π/3の2つの解を持ちます。

これを解くと。

θ − π/3 = π/3 または θ − π/3 = 5π/3

よって、θ = π/3 + π/3 = 2π/3 または θ = 5π/3 + π/3 = 2π

最後に、解の範囲「0 ≦ θ < 2π」に合ったθの値を求めます。最初の解「2π/3」はそのまま範囲内に収まりますが、2番目の解「2π」は範囲外なので、範囲内の解は「2π/3」となります。

さらに、θ − π/3の範囲は「−π/3 ≦ θ − π/3 < 5π/3」になります。この範囲がなぜ必要かというと、sin関数の周期性によって、解が繰り返し現れるからです。したがって、式を解いた結果として、θが特定の範囲内に収まることが必要です。

この問題では、三角関数の合成を通じて、θの解を求める方法を学びました。また、解の範囲についても理解を深めることができました。問題文に示された範囲内での解を求めるためには、しっかりと三角関数の周期性とその性質を考慮することが重要です。