中学生が学ぶ二次関数の問題では、与えられた条件から関数の係数や直線の式、面積を求める問題がよく出題されます。この記事では、関数y=ax²のグラフ上で与えられた点を使い、直線の式や面積を求める問題の解き方を順を追って解説します。
問題の理解：関数y=ax²と点A(-3,3)
関数y=ax²があり、点A(-3,3)と点Bがそのグラフ上にあります。また、直線ABとy軸との交点をCとし、AC:CB=1:3であるという条件が与えられています。これらの条件から、まずaの値を求め、次に直線ABの式を導きます。
(1) aの値を求める
まず、点A(-3,3)が関数y=ax²のグラフ上にあるので、この点の座標を使ってaの値を求めます。点Aの座標は(-3,3)なので、関数に代入して次の式を得ます。
3 = a(-3)²
これを計算すると、3 = 9a となり、a = 1/3 です。したがって、aの値は1/3であることがわかります。
（2）直線ABの式を求める
次に、点Aと点Bが与えられたとき、直線ABの式を求めます。直線ABは、点A(-3, 3)と点Bの座標を使って、直線の方程式を求めることができます。まず、傾きmを求めます。
点Aの座標が(-3, 3)で、点Bの座標を(xB, yB)とすると、直線の傾きmは次のように計算できます。
m = (yB - 3) / (xB + 3)
傾きを求めた後、点Aの座標を使って直線の方程式を導きます。直線の式はy = mx + bという形ですが、bはy軸との交点を求めることで得られます。
（3）三角形APBの面積と三角形OABの面積
次に、関数y=ax²のグラフ上に点Pをとり、三角形APBの面積が三角形OABの面積の7/3倍となる条件を使って点Pのx座標を求めます。
まず、三角形OABの面積を求めます。三角形OABの面積は、点O(0, 0)から点A(-3, 3)、点B(xB, yB)を結んでできる三角形の面積です。三角形の面積を求める公式は、底辺×高さ÷2です。
次に、三角形APBの面積も同様に計算し、条件から点Pのx座標を求めます。
まとめ：問題の解き方のステップ
この問題は、与えられた条件をもとに、まずは関数の係数aを求め、その後直線ABの式や面積の計算を通じて点Pの座標を求める問題です。三角形の面積の比を使って点Pの位置を特定する方法は、図形と関数を結びつけた応用問題として非常に有効です。中学2年生の数学では、このような問題を通じて関数や図形の理解を深めていきましょう。
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