なぜcos²θ + sin²θ = 1になるのか？三角関数の基礎解説

三角関数の公式「cos²θ + sin²θ = 1」は、数学や物理学の基本的な公式の一つであり、多くの場面で使用されます。この公式の背後にある理由やその重要性について、この記事ではわかりやすく解説します。

cos²θ + sin²θ = 1とは？

「cos²θ + sin²θ = 1」という式は、直角三角形の三辺の関係に基づく三角関数の基本的な性質を表しています。この式では、角度θの余弦（cos）と正弦（sin）の二乗を足したものが常に1になることを示しています。直感的には、これは単位円と呼ばれる円に関連しています。

この公式は三角関数の中でも非常に重要であり、特に物理学や工学などでよく使われます。

この公式が成り立つ理由は、単位円を考えると理解しやすいです。単位円とは、半径が1の円で、原点（0,0）を中心に描かれます。この円上の任意の点に対して、その点の座標は(cosθ, sinθ)で表されます。

直角三角形を考えると、円の上の点が形成する三角形の隣辺がcosθ、対辺がsinθに対応します。ピタゴラスの定理により、これらの辺の長さの二乗の和は常に半径の二乗（1）に等しくなるため、cos²θ + sin²θ = 1が成り立つのです。

ピタゴラスの定理は、直角三角形の三辺の関係を表す公式であり、a² + b² = c²という形になります。ここで、aとbは直角三角形の2辺、cは斜辺です。この定理を三角関数に適用すると、単位円上でのcosθとsinθの関係が自然に導かれます。

単位円の半径は1なので、直角三角形の辺の長さがcosθとsinθで表され、その二乗の和は常に1になります。これがcos²θ + sin²θ = 1の由来です。

cos²θ + sin²θ = 1は、三角関数の基本的な性質を理解するための土台となる公式です。この式は、波の解析や振動、電子回路の計算、さらには物理学や工学のさまざまな問題で活用されています。

例えば、三角波や正弦波の振幅と位相を計算する際にも、この公式は非常に役立ちます。また、三角関数の加法定理や積分、微分の計算にも基礎となる部分が多く、数学や物理の多くの分野で使用されています。

cos²θ + sin²θ = 1は、三角関数の基本的な公式であり、単位円とピタゴラスの定理に基づいています。この公式を理解することで、三角関数を使った計算や解析が容易になり、さまざまな数学的問題に取り組むための基盤を築くことができます。