積分 ∫(x²-1)/[(x²+1)√(x⁴+x²+1)]dx の解法

積分 ∫(x²-1)/[(x²+1)√(x⁴+x²+1)]dx の求め方に困っている方へ。この記事では、この積分の解き方をステップバイステップで解説します。特に、平方根を含む式の積分に関して、どのようにアプローチするかを詳しく説明します。

積分の式の確認

まず、与えられた積分式を確認しましょう。

∫(x²-1)/[(x²+1)√(x⁴+x²+1)]dx

この積分は、分子と分母が複雑な式であるため、まずは式を整理して計算しやすくすることが重要です。特に、平方根を含んでいる部分に注目します。

この式の積分を解くためには、適切な置換を使うと計算が簡単になります。まず、分母の √(x⁴ + x² + 1) の部分に注目します。この部分が平方根であるため、式を簡単にするために置換積分を行います。

置換を行う際に、x² + 1 の部分を u と置くと便利です。この置換を行うことで、積分を簡単に計算できる形に持ち込むことができます。

置換 u = x² + 1 を行うと、du = 2x dx となり、積分式は次のように変換できます。

∫ (u – 1) / [u√(u² + 1)] du

この式において、分母に出てくる √(u² + 1) の部分を適切に計算することで、最終的な解に到達します。

置換後の積分は、次に u に関する積分に変換できます。このステップでは、基本的な積分法や部分積分を用いることが多いです。最終的に、積分の結果を求めることができます。

積分 ∫(x²-1)/[(x²+1)√(x⁴+x²+1)]dx の解法は、適切な置換を用いることで計算が可能です。特に、分母に含まれる平方根部分を整理することがカギとなります。置換積分を使い、積分式を簡単にしてから計算を行いましょう。