二次関数の接点を求める方法：因数分解と平方完成の違い

二次関数の問題で、放物線と直線の共有点が一つだけの場合、その接点は放物線の頂点であることがあります。この問題では、因数分解と平方完成の両方の方法を使って接点を求める方法について解説します。

二次関数と接点の関係

二次関数のグラフが放物線であり、その頂点を中心に対称的な形をしていることはよく知られています。もし、放物線と直線が接点を一つだけ持つ場合、その接点は放物線の頂点であることが多いです。接点が一つであるという条件は、直線が放物線の頂点とちょうど接するという状況を意味します。

因数分解を使う方法では、まず二次関数の式を因数分解してから解を求めます。例えば、二次関数の式が y = ax^2 + bx + c だとすると、まずその式を因数分解します。ここで、接点が一つだけの条件は、判別式がゼロであることが条件になります。

判別式 D は次のように求められます。

D = b^2 – 4ac

もし D = 0 であれば、放物線と直線は一つの点で接していることになります。この場合、因数分解を使ってその接点を求めることができます。

次に平方完成を使った方法を紹介します。平方完成では、二次式を次の形に変形します。

y = a(x – h)^2 + k

ここで (h, k) は放物線の頂点の座標です。この方法で頂点の座標を求めることができます。もし問題において直線がこの頂点と接する場合、直線の方程式と放物線の方程式を連立させて解くことで接点を求めることができます。

例えば、次のような二次関数が与えられている場合を考えます。

y = x^2 – 6x + 9

まず因数分解すると。

y = (x – 3)^2

この場合、接点は明らかに (3, 0) となります。

次に平方完成を使う場合、まず -6x の部分を平方完成の形に変形します。

y = (x^2 – 6x) + 9

これを (x – 3)^2 に変形すると、やはり接点 (3, 0) になることがわかります。

因数分解と平方完成の結果は、基本的に一致します。どちらの方法も放物線の頂点や接点を求めることができます。ただし、平方完成では頂点を直接求めることができるため、接点が一つのときには特に有効です。一方、因数分解では、判別式がゼロの場合に解を求めることができます。

二次関数の接点を求める方法として、因数分解と平方完成の2つの方法があります。どちらの方法でも、接点が一つである場合は、放物線の頂点であることがわかります。これらの方法は異なるアプローチですが、最終的な結果は一致します。状況に応じて、使いやすい方法を選んで解くことができます。