log₃(x−4)²＝2の解法と条件x>4についての誤解

数学の問題で「log₃(x−4)²＝2」を解く際に、x>4の条件が必要ない理由とその解法について解説します。特にx＝1とx＝7の解が得られる理由について詳しく説明しますので、理解を深めてください。

1. 問題の設定と計算手順

問題は「log₃(x−4)²＝2」です。この問題を解くためには、まず式の両辺に対して対数の性質を利用します。

まず、log₃の逆関数を使って、式を以下のように変形します：
(x − 4)² = 3² = 9

(x − 4)² = 9 からx − 4 = ±3 となります。これを解くと、x − 4 = 3またはx − 4 = -3となります。したがって、x = 7またはx = 1となります。

問題文で「x > 4」と記載されている理由は、log₃(x−4)の「真数」が正である必要があるからです。すなわち、x − 4 > 0、つまりx > 4という条件が必要です。しかし、解のx = 1もx > 4の条件を無視して解くと得られるため、実際に必要なのは解のx = 7だけです。

問題の条件「x > 4」を無視してx = 1も答えとして計算に含めたことが誤りであり、x = 7が唯一の正しい解です。

この問題では、対数方程式の性質を用いて解を求めるとともに、真数が正である条件を満たす解だけが有効であることを確認することが重要です。x = 7が正しい解であり、x = 1は不正解となります。今後、問題を解く際は、解法だけでなく、条件をしっかり理解しながら進めることが大切です。