y = ±√(x²−a²)がx = ±aで微分可能でない理由とは

関数y = ±√(x²−a²)がx = ±aで微分可能でない理由について理解することは、微積分を学ぶ上で重要です。この記事では、この関数がなぜx = ±aで微分可能でないのか、その理由をわかりやすく解説します。

1. 関数y = ±√(x²−a²)の特徴

関数y = ±√(x²−a²)は、xの値が±aを境に定義される関数です。x²−a²が0になる点、すなわちx = ±aで、この関数は特異点を持ちます。この特異点での挙動が微分不可能である理由に関わります。

まず、この関数の定義域を確認しましょう。x²−a²が非負になる必要があるため、xが±aの間にある時のみ、実数の値が得られます。そのため、x = ±aで定義される点が非常に重要になります。

微分可能性とは、関数がある点で接線を引くことができ、その接線の傾きを求めることができるという性質です。具体的には、関数がその点で連続であり、かつその点における変化の速さ（導関数）が存在することが必要です。

微分可能でない点では、接線が存在せず、関数の傾きを求めることができません。これが、関数が微分不可能であるということです。

関数y = ±√(x²−a²)がx = ±aで微分不可能である理由は、これらの点で関数が急激に変化するためです。具体的には、x = ±aで関数が急激に増減し、接線が一意に定まらないため、微分を取ることができません。

この関数のグラフを考えると、x = ±aの点でV字型の頂点があり、ここで接線が不安定になります。接線が一方向に定まらないため、この点では微分が定義できません。

関数y = ±√(x²−a²)の微分可能性を数学的に証明するには、x = ±aでの右極限と左極限が一致しないことを示すことが必要です。具体的に言うと、x = aの直前と直後で、関数の傾きが異なるため、微分の定義に従って接線を引くことができません。

これを式で表すと、x = aの周辺での右微分と左微分が一致しないため、x = aでの微分は存在しないことが確認できます。

関数y = ±√(x²−a²)がx = ±aで微分不可能である理由は、これらの点で関数が急激に変化し、接線が一意に定まらないためです。このため、x = ±aでの微分は定義できません。

微分可能性を理解することは、微積分を学ぶ上で非常に重要なポイントです。特に、特異点や極限の概念をしっかりと理解することで、より深い数学の知識が身につきます。