有界閉集合におけるsupAの存在証明

有界閉集合においてsupAが存在することを証明するためには、集合Aの有界性と閉性を理解し、それらの性質を利用します。以下では、この証明のために必要なステップを解説します。

有界集合とは

集合Aが有界であるとは、すべてのx ∈ Aについて、|x| ≦ Mが成り立つような実数Mが存在することを意味します。つまり、集合Aのすべての要素は、ある範囲内に収束しており、無限に広がっていないことを示します。

閉集合の定義

集合Aが閉であるとは、Aの補集合A^cに含まれる任意の点yに対して、ある正のεyが存在し、その範囲内の近傍N(y; εy)がA^cに完全に含まれることを意味します。閉集合はその極限点を含んでいるという性質があります。

supAの存在を示すためのステップ

集合Aが有界閉集合であるとき、supAが存在することを示すためには、Aの上限（supremum）を求める必要があります。まず、集合Aの上限が実数であることを証明するために、Aの最大値が存在しない場合でも、上限を持つことを示す必要があります。これを行うためには、Aの補集合における近傍点の特性を利用して、A内に存在する最大の上限を特定します。

supAの実現

次に、実際にsupAがAの要素であることを示すために、集合Aが閉であるという性質を利用します。Aが閉集合であるため、supAをAの極限点として設定し、その点がAに含まれることを証明します。具体的には、Aの上限がA内の点であることが証明できれば、supAがAの要素であることが確定します。

まとめ

有界閉集合におけるsupAの存在証明は、集合Aの有界性と閉性を基にして、上限が実数であり、さらにその上限が集合Aの要素であることを示すことです。これにより、supAが存在し、集合A内における最大の上限として機能することが確定します。