人工衛星の運動と万有引力：重力と向心力の関係について

人工衛星の運動に関する物理学の問題で、「万有引力を向心力として等速円運動をする」とありますが、この場合の「重力と向心力の関係」についてはよく疑問が持たれます。特に、「重力 = 向心力」として解くことが正しいかどうか、その理由とともに詳しく解説します。

人工衛星と万有引力

人工衛星は地球の周りを回る軌道を描きながら、一定の速度で円運動をしています。地球は衛星に万有引力を及ぼし、衛星はその引力によって引き寄せられます。この引力は衛星が円運動をするために必要な向心力となります。

万有引力の法則によると、地球と衛星の間には引力が働き、この引力は次の式で表されます：
F = G * (m1 * m2) / r²

向心力と重力の関係

円運動において、向心力は物体が円軌道を維持するために必要な力です。人工衛星の場合、地球の万有引力がその向心力となります。したがって、衛星が地球の周りを回るためには、万有引力の大きさが向心力に一致する必要があります。

この関係は、次の式で表されます：
F_向心 = m * v² / r

ここで、mは衛星の質量、vは衛星の速度、rは衛星の軌道半径です。衛星の速度が一定であれば、引力と向心力は釣り合い、衛星は円運動を続けます。

「重力 = 向心力」で解いても問題ないか？

質問のように、「重力 = 向心力」という式で解くことは、基本的に正しいです。重力は万有引力として働き、この引力が向心力となって衛星を円軌道に保持します。したがって、人工衛星が等速円運動をする場合、重力（万有引力）がそのまま向心力に等しいという関係式が成立します。

ただし、このように解く場合は、遠心力がほぼゼロと見なせることが前提となります。遠心力は人工衛星に対して反対方向に作用する力ですが、衛星が一定の軌道を維持している場合、この力は無視できるほど小さいため、重力と向心力が釣り合うと考えても問題ありません。

実際の解法と注意点

実際に問題を解く際、衛星の速度や軌道半径、質量などが与えられている場合は、重力と向心力が釣り合うことを前提に式を立てて解くことができます。ただし、重力が一定の大きさで作用する範囲を考慮する必要があります。地球の表面近くでは重力はほぼ一定ですが、人工衛星が高い軌道を回っている場合、重力の強さは軌道の半径に依存して減少します。

まとめ

人工衛星が地球の周りを回る際、万有引力が向心力として作用し、等速円運動をします。重力と向心力が釣り合うことで衛星は安定した軌道を維持します。したがって、「重力 = 向心力」として解くことは正しいアプローチです。ただし、衛星が高い軌道にある場合や他の力が影響を与える場合は、注意が必要です。