直線PQが三角形OABの面積を二等分する問題の解法

この問題では、座標平面上の2点A(2, 0)とB(0, 2)を用いて、直線PQが三角形OABの面積を二等分するように点Pと点Qを取る方法を求めます。具体的には、(1)で点Qの座標がtのとき、直線PQの方程式とtの値の範囲を求め、(2)でtを動かすとき、直線PQが通る点全体の領域を求めます。

問題の設定

まず、座標平面上の点A(2, 0)とB(0, 2)があります。これに対して、線分OA上の点Pと線分OB上の点Qを設定します。直線PQが三角形OABの面積を二等分するように点Pと点Qを動かすため、点Qの座標をtに依存させます。ここでは、点Pと点Qの位置によって直線PQの方程式がどう変わるかを求めていきます。

(1) 直線PQの方程式とtの範囲

まず、点Pの座標は線分OA上にあるため、Pの座標は(2t, 0)となります。次に、点Qは線分OB上にあり、Qの座標は(0, 2(1 – t))となります。したがって、直線PQの傾きは、PとQを結ぶ直線の傾きに対応します。これを使って直線PQの方程式を求めることができます。

直線PQの傾きは、(2t – 0) / (0 – 2(1 – t)) = t / (t – 1) です。したがって、直線PQの方程式は、y = (t / (t – 1)) * x となります。

tの範囲は、点Qが線分OB上にあり、tが0から1の範囲で変化することを意味します。したがって、tは0 ≦ t ≦ 1の範囲にあります。

(2) tを動かすときの直線PQの領域

tを0から1の範囲で動かすと、直線PQが通る点全体の領域は三角形OABの中で変化します。具体的に、t = 0のとき、直線PQは点Oと点Aを結び、t = 1のときは点Oと点Bを結ぶことになります。

直線PQが三角形OABの面積を二等分するためには、PQの位置が適切に調整される必要があります。tが変化することで、直線PQが三角形OABを二等分する点を通るようになります。これにより、三角形OABの面積の変化をグラフ上で確認することができます。

まとめ

この問題を解くことで、座標平面上で直線PQが三角形OABの面積を二等分する位置を求めることができました。問題を解決するために、点Pと点Qの座標をtで表し、直線PQの方程式を求め、tの範囲を決定しました。また、tを動かすことで直線PQが通る領域を求め、三角形OABの面積の二等分について理解を深めることができました。